0.

Úvod

1.

Teorie

1.1.	Definice goniometrických funkcí

1.2.	Užitečné vlastnosti

1.3.	Základní vztahy

2.	Využití při řešení rovnic

2.1.	Triviální příklady

2.2.	Lehké příklady

2.3.	Středně těžké příklady

3.	Využiti při řešení nerovnic

3.1.	Používané substituce při řešení nerovnosti

3.2.	Úprava substituci

3.3.	Aplikace substitucí – těžší příklady

4.

Závěr

5.	Použité materiály

„ 3.3. Aplikace substitucí – těžší příklady
Ačkoliv to na první pohled nemusí být patrné, mají tyto goniometrické substituce poměrně široké využití u řady poměrně obtížných příkladů, které by se bez nich řešily pravděpodobně velmi nepříjemně. Při správném použití, které většinou není těžké odhadnout, s nimi lze docílit v pravdě překvapivých výsledků. Pro lepší pochopení předchozích slov vřele doporučuji rozmyslet si řešení příkladů nejdříve samostatně (nejlépe bez substituci) a pak si pročíst vzorové řešení.
Pro motivaci začnu s příkladem z českého výběrového soustředěni na IMO (z 55. ročníku MO).
Příklad 1
Nechť x, y, z jsou kladná reálna čísla, pro něž platí x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1. Dokažte, že pak platí:
2(x + y + z) ≤ 3.
řešení
Povšimněme si, že z podmínky plyne, že x,y i z jsou čísla menši než jedna, tedy je můžeme nahradit siny nějakých uhlů, které jsou vzhledem k podmínce a předchozím informacím poloviny uhlů trojúhelníka. Tedy stačí ukázat, že pro siny polovičních úhlů jakéhokoliv trojúhelníka platí

(vzorec)

Protože je sinus na intervalu 0 až _H__ konkávní, jistě platí (podle Jensenovy nerovnosti)

(vzorce)

Tedy levou stranu nerovnosti lze odhadnout jako 3.2(1/2) = 3, z čehož nerovnost evidentně platí.“

Práce ve formátu AdobeAcrobat (*.pdf).