1.

Úvod

2.	Parciální derivace

3.	Totální diferenciál

4.

Závěr

5.	Použitá literatura

„Podívejme se nyní na geometrický význam parciální derivace.

Mějme funkci z=(x, y)jako na obrázku vlevo [1], chtějme udělat parciální derivaci podle x v bodě (x0,y0). Po té necháme y konstatní a měníme x. Dostaneme tím vlastně kolmý řez funkcí, který je na obrázku znázorněn červenou barvou. Parciální derivace podle x je pak znázorněna zeleně, jedná se o tečnu dvojrozměrného grafu řezu funkce. Derivace podle y by vypadala podobně, jen by se měnila velikost y a x by bylo konstantní. Že by se lišila od derivace podle x, je z grafu dobře vidět.

Zatím jsme brali v úvahu jen funkce se dvěma proměnnými. U funkcí s více než dvěma proměnnými jsou vlastnosti obdobné, jednáme s nimi podle stejných pravidel. A tak když funkci gx(x,y,z) derivujeme podle x, tak necháme y a z konstantní a vyřešíme derivaci.

Záměnnost parciálních derivací druhého řádu
U derivací druhého a vyššího řádu máme vždy možnost se rozhodnout, podle které proměnné budeme derivovat. Pokud budeme derivovat podle první proměnné, například podle x, a poté podle druhé proměnné, podle y, tak dostaneme stejný výraz, jako když budeme derivovat nejprve podle y a poté podle x, pokud obě parciální derivace jsou spojité. To tvrdí Clairautova věta [2]. Nyní si ji dokážeme:
Pro malé hodnoty h, uvažujme rozdíl
Nechť a
Díky větě o sevření platí, že existuje číslo c mezi čísly a, a+h, takové, že

Uplatníme nyní větu o sevření znovu, tentokrát k dostaneme číslo d, které leží mezi b, b+h, takové, že
Když zkombinujeme tyto rovnice, dostáváme
Když se h blíží k nule, pak , takže upravením zápisu spojitosti v bodě (a,b) dostaneme:
Podobně zapsáním
a dvojitým použitím věty o sevření, kontinuity dostaneme podobný výraz i pro :
Z toho plyne , což jsme chtěli dokázat."

Obsahuje trojrozměrný model, rovnice jsou vloženy formou grafických objektů. Čistý text dosahuje cca 3 stran.