1.

Úvod

2.	Rovinné grafy

3.	Konvexní mnohostěny

4.	Pravidelné rovinné grafy a mnohostěny

5.	Speciální polopravidelné rovinné grafy

5.1	Archimedovská tělesa, hranoly a antihranoly

5.2	Johnsonova tělesa

5.3	Zobecněné hranoly a antihranoly

6.	Polopravidelné rovinné grafy se stejnými vrcholy

7.	Polopravidelné rovinné grafy se stejnými stěnami

7.1	Katalánská tělesa

7.2	Duální grafy ke grafům Johnsonových těles

7.3	Duální grafy ke grafům zobecněných hranolů a antihranolu

7.4	Duální grafy k obecným polopravidelným grafům

8.	Literatura

9.	Příloha - přehled Johnsonových těles

"¨3. Pravidelné rovinné grafy a mnohostěny

Pravidelnými rovinnými grafy a pravidelnými mnohostěny se zabývá velké množství dostupné literatury, například [1], [2], [3], [5], [7], [12], [14], [15], [16], [22]. Autoři všech těchto prací zmiňují speciální vlastnosti pravidelných grafu a mnohostěnů i jejich vzájemnou korespondenci.

Definice 3.1. Pravidelným rovinným grafem nazveme takový rovinný graf, který má každý
vrchol stupně p a každá jeho stěna je n-úhelník.

Definice 3.2. Pravidelným mnohostěnem nazveme takový konvexní mnohostěn, jehož
steny jsou stejné n-úhelníky a jehož všechny vrcholy mají stejný stupeň.

Je dobře známo, že pravidelných mnohostěnů je právě pět, nazývají se Platonova tělesa a
jsou to pravidelný čtyřstěn, pravidelný šestistěn (krychle), pravidelný osmistěn, pravidelný
dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Pomocí Eulerovy formule odvodíme, že pravidelných
grafu je také tolik a jsou jimi právě grafy těchto těles.

Nechť G = (V,E) je pravidelný rovinný graf. Označme |V (G)| = v, |E(G)| = e, s(G) = s,
stupen vrcholu p, počet hran jedné steny n. Počítáme-li dvěma způsoby počet uspořádaných
dvojic (ei, sj), kde ei je hrana v grafu G a sj je stěna v grafu G, „přispěje“ každá hrana
2 takovými dvojicemi a každá stěna n dvojicemi. Získáme tak rovnost 2e = ns. Obdobně
uvažujeme dvojice (ei, vk) a (sj , vk), kde vk je vrchol v grafu G a získáme rovnost

2e = ns = pv. (2)

Pro zadané p, n 2 N hledáme možná řešení pro v, e a s. Do Eulerovy věty

v − e + s = 2

postupně dosazujeme ze vztahu (2) a vyjádříme hledaná v, e a s.

[vzorce]

Protože v, e, s, p, n > 0, musí platit:
2n − pn + 2p > 0
2n − pn + 2p − 4 > −4
−2n + pn − 2p + 4 < 4
(2 − p)(2 − n) < 4

Protože pro graf konvexního mnohostěnu platí, že p, n _ 3, odpovídá těmto podmínkám
právě pět různých kombinací pro p a n a jsou uvedeny v následující tabulce.

[tabulka]

[obrázky 1 – 5]

4. Speciální polopravidelné rovinné grafy"

Práce je ve formátu Acrobat Reader (*.pdf). Obsahuje velké množství grafů, vzorců a tabulek. Délka čistého textu je cca 16 stran. Byla vytvořena pro Univerzitu Palackého v Olomouci, Přírodovědeckou fakultu, katedru algebry a geometrie.
V textu se používá název Katalánská tělesa, správný překlad originálního výrazu Catalan solids je však Katalánova tělesa.