1.

Úvod

2.	Formulácia úlohy

3.

Analýza

4.

Vektory

4.1	Linearna zavislosť a nezavislosť

5.

Matice

5.1	Riadkove operacie

5.2	Gaussov tvar matice

5.3	Vypočet Gaussovho tvaru matice

5.4	Hodnosť matice

6.	Determinanty

7.	Sústavy lineárnych rovníc

7.1	Homogenna sustava

7.2	Riešenie sustavy n linearnych rovnic s n neznamymi

7.2.1

Riešenie linearnej sustavy pomocou inverznej matice

7.2.2

Cramerovo pravidlo

8.	Rozdelenie numerických metód

8.1	Priame metody

8.2	Iteračne metody

8.3	Použitie a efektivnosť

9.	Zdroje chýb

9.1	Eliminacia vyberom hlavneho prvku

10.	Gaussova eliminačná metóda

10.1	Zakladne principy GEM

10.2	Postup pri aplikacii eliminačnej metody

10.3

Algoritmy

10.3.1

GEM bez pivotizacie

10.3.2

GEM s riadkovou pivotizaciou

10.4	Analyza implementacie GEM v jazyku Java

11.	Petriho siete

11.1	Analyticke vlastnosti Petriho sieti

11.2	Problem dosiahnuteľnosti Petriho sieti

11.2.1

Riešenie RP

12.	Výber metód pre riešenie invariantov a dosiahnuteľnosti Petriho sietí

13.

Záver

14.	Zoznam použitej literatúry

"7 Rozdelenie numerických metód

7.1 Priame metódy
Po konečnom počte krokov vedu k presnemu riešeniu (ak nie je nutne
zaokruhľovanie):
- Gaussova eliminačna metoda
- Gaussova - Jordanova metoda

7.2 Iteračné metódy
Konštrukcia postupnosti vektorov x, ktora konverguje k presnemu riešeniu
sustavy:
- Jacobiova metoda
- Gaussova-Seidelova metoda

7.3 Použitie a efektívnosť
Numericke metody umožňuju rychle riešenie vačšich sustav rovnic z oblasti
štatistiky, matematickej fyziky či techniky pomocou počitačov. V praxi rozoznavame dva druhy matic koeficientov, od ktorych može zavisieť vyber použitia priamych alebo iteračnych metod:
- pre plne matice (matice, ktore maju malo nulovych prvkov) s nižšim radom su
vyhodnejšie priame metody;
- iteračne metody sa uprednostňuju pre riedke (malo nenulovych prvkov) a veľmi
veľke matice.
Je treba zdorazniť, že neexistuje žiadne prisne pravidlo a všeobecne nazory na vyber metody su veľmi odlišne. Nikto sice neodporuči iteračne metody pre riešenie sustav splnymi maticami nizkeho radu, ale existuju aj nazory, ktore uprednostňuju priame metody i pre veľke riedke matice.
Ulohou numerickych metod je dopracovať sa danym postupom (algoritmami)
efektivne k vysledku. Efektivnosť algoritmu zavisi od dvoch kriterii: rychlosti algoritmu (koľko zahrňuje operacii) a presnosti vypočitaneho riešenia. Tieto dve kriteria su doležite hlavne pri algoritmoch pre riešenie veľkych sustav na počitači. Ak je počet rovnic maly (tak pať a menej), možeme ich vyriešiť ručne na kalkulačke a hlavnym problemom je skor snaha vyhnuť sa chybam ako rychlosť vypočtu. Avšak pri riešeni vačšich sustav su doležite už obe kriteria. Sustavy linearnych rovnic s viac jako desiatimi neznamymi sa dnes riešia vylučne na počitačoch pomocou numerických metod, keďže objem vypočtov potrebnych k ich vyriešeniu je nesmierne veľky a "ručne" počitanie nekonečne zdĺhave. V tomto pripade popri rychlosti algoritmu je zavažnym problemom presnosť riešenia, zavisiaca predovšetkym od zaokruhľovacich chyb, ktore vznikaju či už pri vkladani udajov do stroja alebo v priebehu vypočtu, keď mala zmena koeficientov zaokruhlenim može sposobiť podstatnu stratu presnosti.

8 Zdroje chýb
Najčastejšie zdroje chýb, ktore ovplyvňuju presnosť vypočtu a tym aj kvalitu
riešenia, su tri:
1. Nepresnosť koeficientov a pravej strany (matice A a vektoru b), napriklad
nutnosť zaokruhlenia udajov pri vkladani do stroja.
2. Zaokruhľovacie chyby pri vypočte. Zaokruhľovacie chyby su menšim problemom pri iteračnych metodach ako pri metodach priamych (možu však představovat zavažny problem, ak je sustava zle podmienena). Iteračna metoda je zaťažena iba tou zaokruhľovacou chybou, ktorou je zaťažena posledna iteracia. Je to tym, že použivame povodnu maticu a da sa povedať, že každu iteraciu začiname bez handicapu, ak použijeme poslednu iteraciu vychodzieho vektoru."

Technická univerzita v Košiciach, fakulta elektrotechniky a informatiky, katedra počítačov a informatiky, studijní obor informatika.
Práce je ve formátu Acrobat Reader (*.pdf). Obsahuje velké množství obrázků, tabulek a vzorců. Rozsah čistého textu je cca 13 stran. Většina práce je kompilačního charakteru, v některých částech nejsou označeny citace.