1.

Úvod

2.	Obecné poznatky

2.1.	Poznatky z konvexní analýzy

2.2.	Poznatky z kombinatoriky

3.	Výpočet pravděpodobnosti a její aproximace

3.1.	Formulace problému

3.2.	Základní problém a jeho aproximace

3.3.	Obecný problém a jeho vztah k základnímu problému

3.4.	Aproximace pomocí rozdílu

3.5.	Konvergence T (n; s; p)

3.6.	Výpočet pravděpodobnosti pomocí Bellových polynomů

4.	Programové vybavení

4.1.	Testování hypotézy o stejných pravděpodobnostech

4.2.	Metody výpočtu

4.3.	Funkce narozeniny

4.4.	Zpracování dat

5.	Aplikace problému

5.1.	Problém shody příjmení

6.

Závěr

7.

Přílohy

7.1.	Kód v jazyce Pascal

7.2.	Kód v jazyce Pascal

7.3.	Skript v programu R

7.4.	Skript v programu R

"3.3 Funkce narozeniny
Nyní popíšeme vytvořený program. Jedná se o funkci narozeniny v jazyce R. Funkci lze nalézt v příloze 3. V programu R spustíme skript narozeniny.r a již můžeme tuto funkci využívat. Povinnou vstupní hodnotou funkce je počet žáků ve třídě. Další proměnné mají nastavené implicitní hodnoty, a tak je jejich specifikování volitelné.
První volitelnou proměnnou je dnu — počet dnů v roce se standardní hodnotou
365. Dále se jedná o volitelný parametr pravděpodobností q. Funkce narozeniny totiž nejenže dokáže testovat, zda jsou pravděpodobnosti stejné, ale i zda jsou rovny nějakému konkrétnímu vektoru pravděpodobností q s počtem složek rov¬ným d. Této vlastnosti využijeme například při práci s daty narození získaných jak v přestupných, tak v nepřestupných rocích. Pokud vektor q není zadán, uva¬žujeme vektor stejných pravděpodobností (1 d ,..., d 1 ).
Dalším vstupním parametrem je hladina testu hypotézy, že skutečné prav¬děpodobnosti se rovnají vektoru q, standartní hodnota proměnné hladina je 0, 05. Posledním údajem je odkaz na uložená data v proměnné data, implicit¬ním souborem je data narození.csv uložený v pracovním adresáři programu R. O požadavcích na podobu tohoto souboru se zmíníme později.
Pokud je zadán vyšší počet žáků než je počet dní v roce, funkce ihned vrátí hledanou pravděpodobnost — tedy 0. V opačném případě má program šest částí, které krátce popíšeme.
Nejprve načteme data. Data by měla být v ASCII podobě v kódování Unicode (tedy UTF-16LE), jednotlivé hodnoty od sebe musejí být odděleny středníky a být uloženy na jednom řádku. To znamená, že soubor obsahující data musí mít první hodnotu uloženou na první řádce, nesmí obsahovat znaky pro ukončení řádku mezi jednotlivými hodnotami a naopak musí být tímto znakem ukončen.
Následně spočteme hodnotu Pearsonova χ2 testu. Pokud bude jeho p–hodnota vyšší než zvolená hladina, nezamítáme nulovou hypotézu, že skutečné pravděpodobnosti narození jsou rovny q. V opačném případě nulovou hypotézu zamítáme.
Další část se uskuteční pouze za předpokladu, že vektor q je vektor stej¬ných pravděpodobností a zároveň nezamítáme nulovou hypotézu. V tomto pří¬padě spočteme pravděpodobnost Rn za platnosti nulové hypotézy podle vzorce pro základní problém. Následující část již je společná pro všechny možnosti, odhadneme v ní pravděpodobnosti narození p pomocí výběrových průměrů. Z nich dále spočítáme hodnoty pole P. J-tá hodnota tohoto pole značí pravděpodobnost
d
k
Pj = pkj .
k=1
Nyní již můžeme spočítat hodnoty Rn(p) podle vzorce 2.16 a vypsat výsledek. Pokud bylo zadáno více žáků, než je dnů, je výstupem pouze 0. V opačném případě je výstupem vektor, jehož první složka je rovna pravděpodobnosti Rn(p), kde p je vektor pravděpodobností narození odhadnutý výběrovým průměrem. Druhá složka je rovna 1, pokud zamítáme nulovou hypotézu, a rovna 0, pokud nulovou hypotézu nezamítáme. V druhém případě a za předpokladu, že byl testován vektor stejných pravděpodobností, je výstupem i třetí složka, a to pravděpodobnost Rn za platnosti nulové hypotézy, tedy pro základní problém.
Pro srozumitelnost jsem napsal i funkci narozenipopis, která je uvedena v příloze 4. Tato funkce používá funkci narozeniny a slovně interpretuje její výsledky. Poté co jsme v programu R spustili skript narozeniny.r, spustíme skript narozeninypopis.r a můžeme tuto funkci využívat. Funkce narozenipopis má stejné vstupní parametry jako funkce narozeniny."

Zpracováno jako bakalářská práce ze studijního oboru Obecná matematika na Katedře pravděpodobnosti a statistiky Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy.
Práce obsahuje tabulky a grafy, čistý text dosahuje cca 25 stran.
Práce je ve formátu Acrobat Reader (*.pdf).