"Mocniny a odmocniny v množineˇ R
r-tá mocnina ˇ císla a – znaˇcíme ar, kde r urˇcuje kolikrát máme
vynásobit a samo sebou. Pˇríklad. a5 = a · a · a · a · a.
r-tá odmocnina ˇ císla a – znaˇcíme r
p
a – odmocˇnování je opaˇcná
operace k mocnˇení – chceme-li nalézt takové ˇcíslo, které nám po
umocnˇení na r dá ˇcíslo a, musíme ˇcíslo a odmocnit (r-tá odmocnina).
Vzorce pro poˇ cítání s mocninami (r, s 2 R)
souˇcin mocnin o
stejném základu aras = ar+s
podíl mocnin o stejném
základu ar : as = ar
as = ar−s
umocnˇení mocniny (ar)s = ars
umocnˇení souˇcinu (ab)r = aras
umocnˇení podílu ( a
b )r = ar
br
Vzorce pro poˇ cítání s odmocninami (r 6= 0, s 6= 0)
odmocnˇení souˇcinu r
p
ab = r
p
a r
p
b
odmocnˇení podílu r
p a
b =
r p
a
r p
b
zámˇennost odmocniny
a mocniny ( r
p
a)t = r
p
at
odmocnˇení odmocniny s
p
r p
a = sr
p
a
Vztah mezi odmocninou a mocninou r 6= 0
r p
as = a
s
r
Mocnina se záporným mocnitelem
a−r =
1
ar .
Pˇríklad. Pomocí výše uvedeného vzorce se m°užeme zbavit záporných
mocnin, což je ˇcasto vyžadováno pˇri úpravách výraz° u.
Napˇr: a−1 =
1
a
.
Komplexní cˇ ísla
Komplexní ˇcíslo je ˇcíslo ve tvaru z = a + bi, kde a oznaˇcuje reálnou
ˇcást (oznaˇcovaná jako Re z), b imaginární ˇcást (zapisujeme
jako Im z) a i oznaˇcuje imaginární jednotku. Co je to? Imaginární
jednotka má jednu zajímavou vlastnost, a to takovou, že platí:
i2 = −1.
Komplexní ˇcíslo m°užeme také zapisovat pomocí uspoˇrádané dvojice
[a, b], kde je opˇ et a reálná a b imaginární ˇcást. Tento zápis
je vhodný pro znázornˇení komplexních ˇcísel v Gaussovˇe rovinˇe
(a, b jsou pak vlastn ˇe souˇradnice):
z=a+bi
[a,b]
0 a=Rez
b=Imz
x
y
r=|z|

Osa x se nazývá reálná, osa y imaginární
Ryze imaginární ˇcíslo – takové komplexní ˇcíslo, které má nulovou
reálnou ˇcást (a = 0).
Pˇríklad: 2i,−i, 5i. . . ale NE: 4 + 2i, 3 − 2i.
Komplexnˇe sdružené ˇcíslo – mˇejme komplexní ˇcíslo z = a + bi,
pak ˇcíslo a − bi nazýváme komplexnˇe sdruženým ˇcíslem k ˇcíslu
z a oznaˇcujeme ho ¯z. Platí d° uležitý vztah: z¯z = a2 + b2.
Napˇr. 1 − 2i je komplexnˇe sdružené k 1 + 2i, ˇcíslo 5i je komplexn
ˇe sdružené k −5i.
Rovnost komplexních ˇ císel – dvˇe komplexní ˇcísla (z1 = a1+b1i,
z2 = a2 + b2i) jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich složky
(reálné i komplexní), tedy a1 = a2, b1 = b2.
Operace +,=, ·,÷ s komplexními ˇ císly
z1 +z2 = (a1 +b1i)+(a2 +b2i) = (a1 +a2)+(b1 +b2)i
z1 −z2 = (a1 +b1i)−(a2 +b2i) = (a1 −a2)+(b1 −b2)i
z1 · z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) =
(a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
komplexní ˇcísla se násobí po složkách (jako když roznásobujeme
dvˇe závorky algebraického výrazu)
z1
z2
=
a1 + b1i
a2 + b2i
a2 − b2i
a2 − b2i
=
a1a2 + b1b2
a22
+ b22
+
a2b1 − a1b2
a22
+ b22
i
pˇri dˇ elení využíváme vlastností komplexnˇe sdruženého ˇcísla
(rozšiˇrujeme první zlomek ˇcíslem komplexnˇe sdruženým k z2)"

Práce obsahuje tabulky a graf o rozsahu cca 3 stran.