"Kvadratická rovnice
Kvadratickou rovnicí nazýváme rovnici tvaru ax2+bx+c=0, kde
a 6= 0, b, c jsou reálná ˇcísla a x je neznámá (napˇr. x2+2x−3 =
= 0). Cˇ len ax2 nazýváme kvadratickým cˇ lenem, bx je lineární
ˇclen a c absolutní ˇclen.
Koˇreny (ˇrešení) nalezneme pomocí vzorce
x1,2 =
−b ±
p
b2 − 4ac
2a
,
kde
p
b2 − 4ac = D se nazývá diskriminant. Diskriminant se
ˇcasto poˇcítá jako první a pak se jeho hodnota dosadí do vzorce
pro výpoˇcet koˇren° u. Proˇc? Diskriminant nám totiž m°uže odpovˇ ed
ˇ et na d° uležitou otázku, kolik má rovnice koˇren° u.
a) Je-li D > 0, má rovnice dva r °uzné reálné koˇreny.
b) Je-li D = 0, má rovnice jeden dvojnásobný reálný koˇren.
c) Je-li D < 0, nemá rovnice v reálných ˇcíslech ˇrešení. V množin
ˇe komplexních ˇcísel však existují dva komplexnˇe sdružené
koˇreny.
Prˇíklad. Rˇ ešme pocˇetneˇ i graficky rovnici 3x2 + 9x + 6 = 0.
Nejdˇríve podle vzorce spoˇcteme diskriminant rovnice
D = 92 − 4 · 3 · 6 = 81 − 72 = 9.
Vidíme, že diskriminant je kladný, rovnice bude tedy mít dva r °uzné reálné ko-
ˇreny. Dosadíme do vzorce pro výpoˇcet koˇren°u
x1,2 =
−9 ± 3
2 · 4
, tedy x1 = −1, x2 = −2, K = {−1,−2}.
Grafické ˇrešení. Sestrojíme graf funkce f : y = 3x2 +9x+6, jímž je parabola
a hledáme pr °useˇcíky tohoto grafu s osou x.
x2 x1
V
y
x
Body x1, x2 jsou pr °useˇcíky funkce f a osy x,
jsou to tedy i koˇreny zadané rovnice. D°uležitým
bodem paraboly je vrchol V , pro jehož souˇradnice
platí
V [−
b
2a
; c −
b2
4a
].
Speciální tvary kvadratické rovnice
b = 0, ryze kvadratická c = 0, bez absolutního ˇclenu
Tvar rovnice: ax2 + c = 0 Tvar rovnice: ax2 + bx = 0
Je-li −c
a > 0, má tato rovnice
dva reálné, navzájem opaˇcné
koˇreny x1,2 = ±
p
−c
a .
Tato rovnice má dva reálné ko-
ˇreny. Jeden je nulový, druhý je
dán vzorcem x2 = −b
a .
Vztahy mezi koˇreny kvadratická rovnice
Mˇejme kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0. Vydˇelme ji ˇcíslem
a 6= 0. Získáme tak kvadratickou rovnici v normovaném tvaru,
x2 + px + q = 0. Pro koˇreny této rovnice platí vzorce
x1 + x2 = −
b
a
= −p, x1 · x2 =
c
a
= q.
TIP: Uvedených vzorc°u se používá pˇri ˇrešení úloh typu: „Sestav kvadratickou
rovnici jejíž koˇreny spl ˇ nují podmínku P“.
Pˇríklad. Sestavme rovnici, která má dvakrát vˇ etší koˇreny než rovnice
x2 − 2x − 3 = 0,
aniž byste tuto rovnici vyˇrešili.
Nejdˇríve oznaˇcíme koˇreny rovnice x2 − 2x − 3 = 0 jako X1 a X2 a ko-
ˇreny hledané rovnice jako x1 a x2. Sestavíme soustavu šesti rovnic na základˇe
vztah°u mezi koˇreny kvadratické rovnice a podmínek dvojnásobnosti.
X1 + X2 =2
X1X2 =−3
(1) Vztahy pro rovnici x2 − 2x − 3 = 0.
x1 + x2 =−p
x1x2 =q
(2) Vztahy pro hledanou rovnici.
x1 =2X1
x2 =2X2
(3) Podmínka dvojnásobnosti.
Vztahy (3) dosadíme do rovnic (2) a získáme rovnice
2X1 + 2X2 =−p
4X1X2 =q
Do t ˇechto rovnic dosadíme (1) a získáme
hodnoty p, q.
2 · 2=−p
4 · (−3)=q
Tedy p = −4, q = −12.
Hledaná rovnice má tvar x2 − 4x − 12 = 0."

Práce obsahuje grafy a tabulky o rozsahu cca 1 strany.