"Základní pojmy
Soustavu souˇradnic zavádíme následujícím zp°usobem:
1. Zvolíme poˇcátek soustavy O.
2. Poˇcátkem O vedeme pˇrímky, které nazýváme osami souˇradnic
(znaˇcíme písmeny x, y, z).
3. Osy zorientujeme = urˇcíme kladnou a zápornou poloosu.
4. Zvolíme jednotky na osách.
Kartézská soustava souˇradnic (ortonormální soustava) je nejˇcast
ˇ eji používaná soustava, která má osy na sebe kolmé a na osách
jednotky stejné délky.
1. na pˇrímce
2. v rovin ˇe
3. v prostoru
B A
-2 -1 0 1 2 x
-x +x
d(AB)
xA
-2
-1
0
1
2
-1 1 2
+y
-x +x
d(AB)
xA
yA
B
A
xA – x-ová souˇradnice bodu A
yA – y-ová souˇradnice bodu A
-2
-1
0
1
2
-1 1 2
+z
-z
-y +y
-x
+x
1
-1
yA
xA
zA A
zA – z-ová souˇradnice bodu A
d(AB) – vzdálenost bod°u A,B
Ve zvolené soustavˇe souˇradnic je každému bodu pˇriˇrazena n-tice
reálných ˇcísel zvaných souˇradnice bodu (viz obrázek).
Vzdálenost dvou bod°u A, B je nezáporné reálné ˇcíslo, které
umíme jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit dvojici bod°u A,B a znaˇcíme ho
|AB|. Vzdálenost má dvˇe základní vlastnosti:
1) Pro libovolné dva body platí d(AB) = d(BA).
2) Jestliže d(AB) je nula, pak A a B je ten samý bod.
Vzorce pro vzdálenost dvou bod°u
Kde? Vzorec
na pˇrímce |AB| = |xB − xA|
v rovin ˇe |AB| =
p
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
v prostoru |AB|=
p
(xB−xA)2 + (yB−yA)2 + (zB−zA)2
Vektory
Mˇejme dvojici bod°u A,B (na pˇrímce, v rovin ˇe nebo prostoru), které
spojíme a vznikne tak úseˇcka. Pokud budeme rozlišovat, zda je
spojíme odAkB nebo odB kA, ˇríkáme, že vzniká orientovaná
úseˇcka AB (pokud spojujeme od A k B) nebo BA (opaˇcnˇ e)
a první bod (v pˇrípadˇe orientované úseˇcky AB je to bod A)
nazýváme poˇcáteˇcním bodem a druhý (v pˇrípadˇe AB bod B)
koncovým bodem. Pokud platí A = B, pak úseˇcku nazýváme
nulovou orientovanou úseˇckou AA, která má týž poˇcáteˇcní i
koncový bod A.
Velikost orientované úseˇcky AB je velikost úseˇcky AB („bez
orientace“) – tedy vzdálenost bod°u A a B.
Vektor je objekt, který získáme tak, že „namnožíme“
orientovanou úseˇcku AB. Každá orientovaná
úseˇcka AB nám urˇcuje smˇer a velikost (vzdálenost
mezi A,B) a zároveˇn je umístˇena v prostoru
(rovin ˇ e, pˇrímce), což umožˇ nují pevnˇe dané
body A,B. Pokud zachováme pouze smˇer a velikost
a „zkopírujeme“AB kamkoliv (vznikne
umístˇení
vektoruv
umístˇení
vektoruv
umístˇení
vektoruv
umístˇení
vektoruv
A
B
C
D
G
E H
F
vektor v – všechny kopie
orientované úsecˇkyAB
tím další orientovaná úseˇcka s jinými body), vznikne nekoneˇcnˇe
mnoho kopiíABa získáme vektor. Úseˇcky na obrázku jsou pak
umístˇení vektoru, což zapisujeme u = AB nebo u = GH.
Definice. Vektor je množina všech souhlasnˇe orientovaných úseˇcek
téže velikosti.
Nulový vektor (oznaˇ c. o) je množ. všech nulových or. úseˇcek.
Souˇradnice vektor °u – mˇejme vektor u (nenulový) a jedno jeho
umístˇení AB (orientovaná úseˇcka). Bod A má souˇradnice
[a1; a2; a3] (v prostoru jsou souˇradnice 3, v rovin ˇe 2 a na pˇrímce
1) a bod B [b1; b2; b3], pak pro souˇradnice vektoru u platí
u1 = b1 − a1, u2 = b2 − a2, u3 = b3 − a3, což zapisujeme
u = (u1; u2; u3). Nulový vektor má souˇradnice o = (0; 0; 0)."

Práce obsahuje grafy o rozsahu cca 1 strany.