"Prˇímka v rovineˇ
K popsání pˇrímky potˇrebujeme bud’ 2 r °uzné body nebo 1 bod a vektor.
Parametrická rovnice pˇrímky
p: x = a1 + t · v1
y = a2 + t · v2

t 2 R je parametr.
Pˇrímka p je urˇcena bodem A[a1; a2] a smˇerovým vektorem
v = (v1; v2). Symbolicky zapisujemeX = A+tv, kde t 2 R.
0 x 0 x
y y
.
A
B
v
t v
X = A + t v
parametrické vyjádˇrení obecné vyjádˇrení
p
n = (a; b) = (−v2; v1)
v=(v1; v2)=(−b; a)
Obecná rovnice pˇrímky
p: ax + by + c = 0,
kde a, b jsou souˇradnice normálového vektoru n = (a; b),
který je kolmý k pˇrímce p a získáme ho ze smˇerového vektoru v
tak, že prohodíme souˇradnice v a u jedné souˇradnice zmˇeníme
znaménko (po prohození) – v tomto pˇrípadˇe má smˇerový vektor
v souˇradnice (−b; a).
Smˇernicový tvar rovnice pˇrímky
1. Máme-li k dispozici obecnou rovnici pˇrímky, vyjádˇríme z ní y
a získáváme (musíme pˇredpokládat, že b není 0):
p: y = kx + q, kde k = −
a
b
, q = −
c
b
k nazýváme smˇ ernicí pˇrímky a platí k = tg , kde  je
úhel, který svírá pˇrímka p s osou x.
2. Je-li pˇrímka urˇcena dvˇema body A[a1; a2], B[b1; b2], lze ur-
ˇcit rovnici pˇrímky ve tvaru:
p: y − a2 =
b2 − a2
b1 − a1
(x − a1), kde b1 6= a1
POZOR! Jestliže je pˇrímka rovnobˇežná s osou y, pak má
smˇ ernicový tvar rovnice pˇrímky tvar
p: x = m, kde m 2 R.
0 x 0 x
y y
smˇ ernicový tvar v pˇrípadˇe
znalosti dvou bod°u A, B
smˇ ernicový tvar v pˇrípadˇe
znalosti obecné rovnice pˇrímky
| {z }
b1−a1

b2 − a2


k = tg 
p
p
A[a1; a2]
B[b1; b2]
o
q
Úsekový tvar rovnice pˇrímky p
p:
x
p
+
y
q
= 1, p = −
c
a
, q = −
c
b
a p 6= 0 ^ q 6= 0
Reálná ˇcísla p, q jsou úseky, které pˇrímka
vytíná na osách x a y. POZOR – pouze
pro pˇrímky, které nejsou rovnobˇežné s osami
souˇradnic.
0 x
y
| {z }
p
)
q
Vzájemné polohy v rovineˇ
Vzájemná poloha bodu a pˇrímky
1. bod X[x0; y0] leží na pˇrímce p, jestliže jeho souˇradnice vyhovují
rovnici pˇrímky, tj. po dosazení za x a y v rovnici pˇrímky
se levá strana rovná pravé
2. vzdálenost bodu X[x0; y0] od pˇrímky p je dána vztahem:
v(X, p) =
|ax0 + by0 + c|
p
a2 + b2
Vzájemná poloha dvou pˇrímek
mˇejme 2 pˇrímky p1: a1x + b1y + c1 = 0, p2: a2x + b2y +
+c2 = 0, pak pro normálové vektory platí: n1 = (a1; b1),
n2 = (a2; b2)
Podle následujícího diagramu lze snadno rozhodnout o vzájemné
poloze pˇrímek.
Jsou vektory rovnobˇežné?
Platí n1 = k n2, kde k je
ANO reálné cˇíslo?
NE
Najdeme libovolný bod ležící
na pˇrímce p1 (to udˇeláme
tak, že jednu jeho souˇradnici
zvolíme a dosadíme do
obecné rovnice, vznikne tak
rovnice o jedné neznámé,
kterou vyˇrešíme a máme 2.
souˇradnici).
Dosadíme získaný bod do
obecné rovnice druhé pˇrímky
a ptáme se:
Vyhovuje bod i druhé
rovnici?
Pˇrímky jsou r °uznobˇežné a jejich
pr °useˇcík vypoˇcteme tak, že vyˇrešíme
soustavu rovnic s neznámými x, y:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
Pokud navíc platí
n1 · n2 = 0
(skalární souˇcin normálových vektor °u je
nulový), pak jsou na sebe pˇrímky kolmé.
ANO
NE Pˇrímky jsou rovnobˇežné, ale
r °uzné (nesplývají).
Pˇrímky jsou rovnobˇežné a
splývají (jedná se tedy o
jednu a tutéž pˇrímku).
POZOR! Výše uvedený diagram lze snadno využít i v pˇrípadˇe pˇrímek
zadaných parametricky – pak nemusíme hledat bod, nebot’
je ho možné ihned vyˇcíst z rovnic. Podmínku rovnobˇežnosti pak
klademe samozˇrejmˇe na smˇerové vektory."

Práce obsahuje tabulky a grafy o rozsahu cca jeden a půl strany.