"Extrémy funkcí
Druhá derivace – symbolem f00(x0) znaˇcíme druhou derivaci
funkce f v bodˇe x0, tj. derivaci funkce f0 v bodˇe x0.
Lokálním extrémem rozumíme lokální minimum nebo lokální maximum,
viz dále. Existuje užiteˇcný vztah mezi lokálními extrémy
funkcí a jejich derivacemi.
Lokální maximum – funkce f nabývá v bodˇe x0 lokálního maxima,
jestliže existuje okolí U(x0) bodu x0 na nˇemž je funkce f definovaná
a pro nˇež platí 8x 2 U(x0) : f(x0)  f(x).
Lokální minimum – funkce f nabývá v bodˇe x0 lokálního minima,
jestliže existuje okolí U(x0) bodu x0 na nˇemž je funkce f definovaná
a pro nˇež platí 8x 2 U(x0) : f(x0)  f(x).
Nutná podmínka extrému – pokud funkce f v bodˇe x0 nabývá
lokálního extrému, potom bud’ f0(x0) = 0 nebo f0(x0) neexistuje.
Postaˇ cující podmínky pro lokální extrém:
• Je-li f0(x0) = 0 a f00(x0) > 0, potom f nabývá v bodˇe x0
lokálního minima.
• Je-li f0(x0) = 0 a f00(x0) < 0, potom f nabývá v bodˇe x0
lokálního maxima.
• Pozor – pokud f0(x0) = 0 a f00(x0) = 0, pak v x0 nemusí
(ale m°uže) být ani lokální minimum, ani maximum.
Pˇríklad. Vyšetˇrete lokální extrémy funkce f(x) = x3 − 3x.
Spoˇcítáme první derivaci f0(x) = 3x2 − 3. Rovnice
3x2 − 3 = 0 má ˇrešení x1 = −1, x2 = 1. Podle
nutné podmínky mohou být lokální extrémy pouze v t ˇechto
bodech. Spoˇcítáme druhou derivaci: f00(x) = 6x. Tedy
f00(−1) = −6, f00(1) = 6. Podle postaˇcující podmínky
je tedy v bodˇe x = −1 lokální maximum a v bodˇe x = 1
lokální minimum.
f
−1 1 x
y
Neurcˇ itý integrál
Primitivní funkce – mˇejme dvˇe funkce F, f definované na otevˇreném
intervalu J. Jestliže pro každé x 2 J platí F0(x) = f(x),
pak funkci F nazýváme primitivní funkcí k funkci f v intervalu
J. Pokud primitivní funkce existuje, není urˇcena jednoznaˇcnˇ e. Na
otevˇreném intervalu platí, že je-li F primitivní funkce k f, pak lze
každou primitivní funkci k f na tomto intervalu zapsat ve tvaru
F + c, kde c 2 R je libovolná konstanta.
Oznaˇcení – symbolem
R
f(x) dx, x 2 J (tzv. neurˇ citý integrál),
znacˇíme libovZolnou primitivní funkci k funkci f na J. Tedy
f(x) dx = F(x) + c, x 2 J.
Symbol dx slouží k odlišení promˇenné, podle které integrujeme,
od pˇrípadných parametr° u.
Linearita integrálu – mají-li funkce f a g na intervalu J primitivní
Zfunkce, pak pro libovolné konstanty c1, c2 2 R platí: 
c1f(x) + c2g(x)

dx = c1
Z
f(x) dx + c2
Z
g(x) dx.
Z Základní primitivní funkce
k dx = kx + c, x 2 R
Z
xn dx =
xn+1
n + 1
+ c,
8>:
n 2 N: x 2 R,
n 2 Z\{−1}: x 2 (0,+1)
x 2 (−1, 0)
n 2 R\{−1}: x 2 (0,+1) Z
1
x
dx = ln |x| + c,
x 2 (−1, 0),
x 2 (0,+1) Z
ax dx =
ax
ln a
+ c, x 2 R
Z
sin x dx = −cos x + c, x 2 R
Z
cos x dx = sin x + c, x 2 R
Z
1
cos2 x
dx = tg x + ck, x2(−
2 +k, 
2 +k), k2Z
Z
1
sin2 x
dx=−cotg x + ck,x 2 (k,  + k), k 2 Z
Pˇríklad. Najdˇete primitivní funkci k funkci f(x) = sin x + 1
x + 3 p
x.
Funkce f je definovaná na intervalech (−1, 0) a (0,+1). Na t ˇechto intervalech
budeme hledat primitivní funkci. Nejprve použijeme linearitu integrálu a
potom tabulku primitivních funkcí"

Práce obsahuje grafy a příklady o rozsahu cca 1 strany.