1.	Teoretické poznatky o kouli a kulové ploše

2.

Příklady

2.1.	Rovnice kulové plochy se středem S = [1; -2; 3] a poloměrem r = odmocnina ze 14. V kterých bodech protínají tuto kulovou plochu osy soustavy souřadnic?

2.2.	Rovnice kulové plochy se středem S = [1; 0; -2] procházející bodem A = [5; -3; 10], rovnice tečné roviny, která se této kulové plochy dotýká v bodě A.

2.3.	Určete, pro které hodnoty d je průnikem kulové plochy x2 + y2 + z2 - 2x + 4z - 164 = 0 a roviny dané rovnicí 4x - 3y + 12 z = 0 kružnice.

2.4.	Společné body přímky AB, A [-4; 3; 3], B [-6; 5; 4] a kulové plochy dané rovnicí x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - z + 3 = 0.

2.5.	Rovnice kulové plochy, která má střed na přímce p a prochází body M = [1;0;1] a N = [0;0;6]. Přímka p má rovnici x = 1 – t, y = 2 + t, z = 3 – 2t, přičemž t proběhne množinou všech reálných čísel.

2.6.	Rovnice kulové plochy se středem S [0;1;-2], která prochází bodem A[1;4;0]. Určete průsečíky této kulové plochy s přímkami, které jsou rovnoběžné s osami a procházejí bodem A soustavy souřadnic.

2.7.	Průnikem kulové plochy x2 + y2 + z2 = 25 a roviny 2x – y + z + 10 = 0 je kružnice. Dokažte to.

2.8.	Najděte průsečíky přímky AB a kulové plochy dané rovnicí x2 + y2 + z2 - 2x + 4y – 1 = 0.

A = [0; 1; 0], B = [2; 0; 1].

2.9.	Jakou rovnici má kulová plocha se středem [1; 2; -3], jestliže se dotýká přímky s parametrickým vyjádřením x = t, y = 1 – t, z = t, přičemž parametr t proběhne množinou reálných čísel.

2.10.

Určete množinu všech bodů X, X ≠ A ≠ B, pro které jsou přímky AX, BX k sobě kolmé, A[1;0;1], B[3;2;0]. Hledanou množinu vyjádřete analyticky.

2.11.

Objem koule je 36π cm3. Určete analytické vyjádření kulové plochy, jež představuje povrch této koule, víte-li, že střed této koule leží na ose x a bod A náleží kulové ploše. A = [7;2;2]

2.12.

Napište analytické vyjádření kulové plochy, která v prostoru vymezuje kouli, již náleží body A, B, C a má střed S = [1; 2; -3], A = [1; 0; 0], B = [1; -3; 0], B = [6; 2; 1].

2.13.

Najděte průsečíky přímky AB, A = [0; 1; 0], B = [2;0;1] a kulové plochy dané rovnicí

x2 + y2 + z2 -2x + 4y – 1 = 0.

2.14.

Je dána kulová plocha K se středem S = [2; 3; 5], r = 6 a dvojice bodů A = [4; 5; 6] a

B = [5; 3; 8]. Určete průnik kulové plochy a přímky AB.

2.15.

Je dána kulová plocha se středem S = [5; 0; 0], r = √24, a její body H = [1; 2; 2]

L = [3; 2; -4] M = [7; 4; -2]

2.15.1.

Napište rovnice tečných rovin kulové plochy v bodech H, L, M

2.15.2.

Určete souřadnice společného bodu všech tří tečných rovin

"Př. 1

Napište rovnici kulové plochy se středem S = [1; -2; 3] a poloměrem . V kterých bodech protínají tuto kulovou plochu osy soustavy souřadnic?

Rovnice kulové plochy je neboli .

Osa z je množinou všech bodů X [x; y; z] pro které je x = y = 0 neboli množina všech bodů se souřadnicemi [0; 0; z]. Takový bod X leží na dané kulové ploše právě tehdy když platí pro z rovnice z2 – 6z = 0. Jedním takovým bodem je počátek kartézské soustavy souřadnic O = [0;0;0]. A druhým řešením je bod [0; 0; 6]. (Řešeno jako kvadratická rovnice bez absolutního členu rozložením do tvaru ). Obdobně spočítáme průsečíky s osami x a y: Vytvoříme si rovnice x2 – 2x = 0 respektive y2 + 4y = 0. Dojdeme k závěru, že všechny osy protne kulová plocha v počátku kartézské soustavy souřadnic. Osa x bude mít s kulovou plochou průsečík v bodě [2; 0; 0], osa y pak v bodě [0; -4; 0].

Př. 2

Napište rovnici kulové plochy se středem S = [1; 0; -2], která prochází bodem A = [5; -3; 10]. Napište rovnici tečné roviny, která se této kulové plochy dotýká v bodě A.

Rovnice kulové plochy je po úpravě . Tečná rovina v bodě A je kolmá k vektoru (5 – 1; -3; 10 + 2) = (4; -3; 12) její rovnice je tedy 4x – 3y + 12z + d = 0, hodnotu d určíme z podmínky, že rovina obsahuje bod A. (Souřadnice tohoto bodu dosadíme do roviny a vyjádříme tak d.) d je rovno -149, rovnice roviny tedy zní 4x – 3y + 12z – 149 = 0.

Př. 3

Určete, pro které hodnoty d je průnikem kulové plochy a roviny dané rovnicí kružnice.

Rovnici kulové plochy si převedu do tvaru a určím střed kulové plochy. Vypočítám vzdálenost v dané roviny od středu středu S = [1; 0; -2]:"

Práce obsahuje vzorce a výpočty. Jedná se o seminární práci na Biskupském gymnáziu ve Žďáru nad Sázavou.